Sophie Germain descubrió su vocación por las matemáticas cuando era adolescente, a través de los libros de su padre. La familia desaprobaba una ocupación tan «impropia» para una niña de una familia del París del siglo XVIII, pero ella perseveró y finalmente logró una reputación entre los mejores matemáticos de su tiempo.
La lectura del «Ensayo sobre la teoría de los números», publicado por Adrien-Marie Legendre en 1798, y las «Investigaciones aritméticas» («Disquisitiones Arithmeticae»), que Carl-Friedrich Gauss escribió ese mismo año y publicó en 1801, despertaron su gusto para la teoría de números, que sería su principal tema de investigación.
Su trabajo más conocido se refiere al teorema de Fermat, según el cual la ecuación xno+yno=zno no tiene soluciones enteras cuando el exponente n es mayor que 2. Los resultados conocidos trataban con valores específicos del exponente: n=4 (Fermat, 1670), n=3 (Euler, 1770) y n=5 (Legendre y Dirichlet, 1825).
Germain fue la primera en tratar toda una familia de exponentes: demostró que si n satisface ciertas condiciones, que se cumplen para todos los números enteros menores que 100, entonces cualquier solución de la ecuación debe ser tal que algunos de los números x, y o z es múltiplo de n (primer caso del teorema de Fermat). De hecho, este fue el primer paso en un plan ambicioso para probar el caso general del teorema. Terminó sin funcionar, pero el espíritu pionero de Germain sigue siendo impresionante.
Las condiciones del teorema de Germain se cumplen automáticamente si el exponente n es un «primo de Germain», es decir, un número primo tal que 2n+1 también es primo. La lista de números primos de Germain comienza con 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, … Una pregunta intrigante es cuántos hay: se cree que están en cantidad infinita y que hay al menos N/(log N )dos Los primos de Germain son más pequeños que cualquier número entero N. Pero nadie ha podido aún probar estos hechos.
Los números de la forma 2n+1, siendo n un primo de Germain, se denominan «primos seguros», debido a una aplicación práctica que ella nunca podría haber previsto.
Los principales métodos de cifrado actuales se basan en que, dado un producto pq de dos números primos grandes, es difícil identificar los factores p y q. Pero esto depende de la elección de los números primos: por ejemplo, si p es tal que p–1 se puede descomponer en números primos pequeños, no es tan difícil romper el cifrado. Una forma de evitar este riesgo es usar p y q que son números primos seguros.
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Fuente: uol.com.br