Los filósofos consideran dos tipos principales de razonamiento: deducción e inducción. Los dos se pueden comparar de la siguiente manera (¡muy simplificado!).
La deducción parte de enunciados generales, las premisas y, mediante reglas lógicas, llega a enunciados más específicos, llamados conclusiones. Un ejemplo sencillo, atribuido a Aristóteles (384 a. C.-322 a. C.): Todo hombre es mortal. Sócrates es un hombre. Por tanto, Sócrates es mortal «.
La inducción va en sentido contrario, partiendo de casos particulares para llegar a reglas generales. Por ejemplo, al observar que los seres vivos conocidos están formados por células, asumimos que lo mismo se aplica a todos los seres vivos.
La inducción es la base de la ciencia experimental. Pero puede fallar: saber que las gallinas de mi patio trasero tienen plumaje rojo no garantiza que todas las gallinas del mundo sean rojas. La deducción, en cambio, es rigurosa: si las premisas son verdaderas, la conclusión es necesariamente verdadera. Pero eso es porque este está contenido en esos, no trae nueva información.
Y las matemáticas, ¿cómo va en esta discusión?
El razonamiento matemático es de naturaleza deductiva: parte de ciertos enunciados, los axiomas y, a través de pasos lógicos bien definidos, llega a nuevos enunciados, llamados teoremas. Eso es lo que hace de las matemáticas una ciencia rigurosa.
Pero el razonamiento matemático también tiene una notable capacidad para producir nuevos conocimientos. El teorema de Fermat establece que la ecuación xno+ yno= zno no tiene soluciones enteras positivas x, y, z si el exponente n es mayor que 2. Se deduce de los axiomas del álgebra, pero ciertamente no está contenido en esos axiomas. Es como si el teorema hubiera sido creado (¿o descubierto?) En el acto de deducción.
¿Qué tiene de especial el razonamiento matemático que lo hace a la vez riguroso, como la deducción clásica, y creativo, como la inducción experimental?
La respuesta está en la inducción matemática, el principio de que si un enunciado dado es verdadero para el número 1, y si ser verdadero para un entero dado N implica que también es cierto para N + 1, entonces ese enunciado es verdadero para todos los enteros positivos. .
Esta notable ley, que no tiene contraparte en la ciencia experimental, permite que las matemáticas pasen de lo finito al infinito de una manera fructífera y rigurosa. La semana que viene comentaré sus orígenes.
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Fuente: uol.com.br