Todo comenzó en el siglo XVI con el famoso explorador o pirata (dependiendo del punto de vista) Walter Raleigh. Pero no era matemático ni, que sepamos, tenía problemas con los besos.
Lo que tenía eran balas de cañón y una pregunta: ¿cuál era la forma más efectiva de apilarlas para minimizar al máximo el espacio que ocupaban en sus naves?
Era un problema de matemáticas — y en matemáticas estas balas son esferas y «beso» (o beso) puede ser una forma de llamar a los puntos donde una esfera toca la otra.
La pregunta de Raleigh generaría un misterio matemático que poblaría mentes brillantes durante cientos de años.
Le planteó la pregunta a su asesor científico en un viaje a América en 1585, el insigne matemático Thomas Harriot, quien le dio una solución: La mejor manera de almacenar tus balas de cañón era disponerlas en forma de pirámide.
En un manuscrito de 1591, Harriot le hizo una tabla que mostraba cómo, dada la cantidad de balas de cañón, se podía calcular cuántas colocar en la base de una pirámide con base triangular, cuadrada u oblonga (alargada).
Pero Harriot siguió pensando en ello y consideró las implicaciones para la teoría atómica de la materia, que entonces estaba de moda.
Comentando esta teoría en correspondencia con su amigo Johannes Kepler, el famoso astrónomo, mencionó el problema del almacenamiento.
Kepler supuso que la forma ideal de minimizar el espacio dejado por los espacios entre las esferas era tener los centros de las esferas en cada capa por encima de donde se «besaban» las esferas del fondo.
Esto es lo que se suele hacer con la fruta en los mercados, por ejemplo.
Esta forma, que parece tan intuitivamente obvia, ha resultado extremadamente difícil de demostrar matemáticamente.
Embora muitos tenham tentado, incluindo Johann Carl Friedrich Gauss, «o príncipe da matemática», a mesma só foi comprovada quase quatro séculos depois, em 1998, com o trabalho de Thomas Hales, da Universidade de Michigan, nos EUA, e o poder de una computadora.
E incluso esta verificación no convenció a todos los matemáticos; aún hoy hay quienes no la consideran digna de la conjetura de Kepler — que indica que si apilamos esferas iguales, la máxima densidad se alcanza con un apilamiento piramidal de caras centradas.
Las incógnitas de las esferas
Ese no fue el único dolor de cabeza causado por los objetos esféricos.
De hecho, una amplia categoría de problemas matemáticos se denomina «problemas de empaquetamiento de esferas».
Resolverlos sirvió desde explorar la estructura de los cristales hasta optimizar las señales que envían los teléfonos móviles, las sondas espaciales e internet.
Y al igual que Raleigh con sus balas de cañón, la logística, las materias primas y muchas otras industrias dependen en gran medida de los métodos de optimización proporcionados por las matemáticas.
Los matemáticos han descubierto, por ejemplo, que las esferas apiladas al azar tienden a ocupar cualquier espacio con una densidad de aproximadamente el 64 %. Pero si los ordena con cuidado de formas específicas, puede obtener hasta un 74 %.
Ese 10% representa ahorros no solo en costos de transporte, sino también en daños al medio ambiente.
Pero las aplicaciones prácticas como esta requieren pruebas matemáticas, y el empaquetamiento de esferas ha traído incógnitas particularmente difíciles, al igual que la conjetura de Kepler.
Uno surgió de una conversación entre Isaac Newton, uno de los más grandes científicos de todos los tiempos, y David Gregory, el primer profesor universitario en enseñar las teorías de vanguardia de Newton.
Fue un problema de varios «besos», pero…
¿Qué son?
Imagina que tienes varios círculos de cartón del mismo tamaño y quieres pegarlos en un marco alrededor de uno de ellos.
El número de «besos» es igual al número máximo de círculos que puedes colocar «besando» — o tocando — el del centro.
Simples así.
Resulta que los matemáticos han demostrado que alrededor del inicial se pueden colocar un máximo de 6 círculos, por lo que el número de «besos» es 6.
Ahora imagina que en lugar de círculos de cartón, tienes pelotas de goma, todas del mismo tamaño.
Una vez más, la pregunta es: ¿cuál es el número máximo de bolas que puede colocar alrededor de una en el centro?
Al agregar esta tercera dimensión, el volumen, la cuestión de especificar el número de «besos» se vuelve más complicada.
Y se necesitaron dos siglos y medio para descomplicarlo.
Newton y Gregorio
El tema comenzó con aquella famosa discusión entre Newton y Gregory, que tuvo lugar en 1694 en el campus de la Universidad de Cambridge, en el Reino Unido.
Newton ya tenía 51 años, y Gregory hizo una visita de varios días, durante los cuales hablaron sin parar de ciencia.
La conversación fue bastante unilateral, con Gregory anotando todo lo que dijo el gran maestro.
Uno de los puntos discutidos y registrados en el memorando de Gregory fue cuántos planetas giran alrededor del Sol.
A partir de ahí, la discusión se fue por la tangente, a la cuestión de cuántas esferas del mismo tamaño se pueden disponer en capas concéntricas para que toquen una central.
Gregory afirmó — sin mucho preámbulo — que la primera capa alrededor de una bola central tenía como máximo 13 esferas.
Para Newton, el número de «besos» sería 12.
Gregory y Newton nunca llegaron a un acuerdo y nunca supieron cuál era la respuesta correcta.
Hoy en día, el hecho de que al mayor número de esferas que pueden «besar» una central eléctrica se le llame comúnmente «número de Newton» revela quién tenía razón.
El debate solo se detuvo en 1953, cuando el matemático alemán Kurt Schütte y el holandés BL van der Waerden demostraron que el número de «besos» en tres dimensiones era 12 — y solo 12.
La pregunta era importante porque un grupo de esferas empaquetadas tendrá un número promedio de «besos», lo que ayuda a describir matemáticamente la situación.
Pero hay cuestiones sin resolver.
Miles de besos
Más allá de las dimensiones 1 (intervalos), 2 (círculos) y 3 (esferas), el problema del «beso» está casi sin resolver.
Solo hay otros dos casos en los que se conoce este número de «besos».
En 2016, la matemática ucraniana Maryna Viazovska estableció que el número de besos en la dimensión 8 es de 240 y en la dimensión 24 es de 196.560.
Para las otras dimensiones, los matemáticos redujeron lentamente las posibilidades a bandas estrechas.
Para dimensiones mayores a 24, o una teoría general, el problema está abierto.
Hay varios obstáculos para una solución completa, incluidas las limitaciones computacionales, pero la expectativa es que habrá un avance importante en este problema en los próximos años.
Sin embargo, ¿cuál es el punto de empaquetar esferas de 8 dimensiones, por ejemplo?
El topólogo algebraico Jaume Aguadé respondió a esta pregunta en un artículo de 1991 titulado «Cien años de E8».
«Se utiliza para hacer llamadas telefónicas, escuchar a Mozart en un CD, enviar un fax, ver la televisión por satélite, conectarse a través de un módem a una red informática».
“Sirve para todos los procesos en los que se requiere la transmisión eficiente de información digital”.
“La teoría de la información nos enseña que los códigos para transmitir señales son más confiables en dimensiones superiores, y la red E8, con su sorprendente simetría y dada la existencia de un decodificador apropiado, es una herramienta fundamental en la teoría de codificación y transmisión de signos”.
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